2022碩士研究生數學(xué)一考研大綱:線(xiàn)性代數重點(diǎn)內容和典型題型

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考研大綱推薦

2022年考研數學(xué)大綱已發(fā)布,和2021年的大綱差別不大,線(xiàn)性代數科目的考查重點(diǎn)和復習重點(diǎn)基本不變,但是2022年為考研偶數年,在難度上可能會(huì )較去年有所增加。為了幫助各位考生能有效的復習線(xiàn)性代數,下面將對考研數學(xué)線(xiàn)性代數的重點(diǎn)內容和典型題型進(jìn)行分析,希望能給在復習過(guò)程中迷茫的你或遇到瓶頸的你帶來(lái)一些幫助。

考研數學(xué)的命題靈活性非常大,就同一個(gè)知識點(diǎn)而已,考查難度有時(shí)就差別千里,而更多的命題是多個(gè)知識點(diǎn)的疊加,綜合性不言而喻。線(xiàn)性代數在考研數學(xué)中的地位不容小覷,而相對高數而言,整體內容不多,題型特點(diǎn)比較突出,主要是計算題為主,證明題為輔,算是比較好掌握的一門(mén)學(xué)科,因此各位考生想要在考研數學(xué)中取得較好的成績(jì),學(xué)好線(xiàn)代勢在必行。
線(xiàn)性代數的學(xué)習主要分兩個(gè)部分:一是對工具的掌握,這部分主要為行列式、矩陣、秩、特征值與特征向量;二是對理論的運用,這部分主要為線(xiàn)性方程組,向量關(guān)系,相似對角化以及二次型。

線(xiàn)性代數——工具篇
行列式是整個(gè)線(xiàn)性代數的基本運算工具,在每一模塊都有應用,雖然在整張試卷中所占比例不是很大,單獨考查較少,但與之相關(guān)的考題每年都有。例如方陣的行列式、逆矩陣、向量組的線(xiàn)性相關(guān)性、矩陣的秩、線(xiàn)性方程組、特征值、正定二次型與正定矩陣等問(wèn)題中都會(huì )涉及到行列式??忌柚攸c(diǎn)掌握行列式的計算方法,達到能熟練計算各式各類(lèi)的行列式的要求。涉及到行列式的??碱}型有數值型和抽象性?xún)深?lèi)。其中數值型中有低階和高階行列式之分,主要考查方式是直接需要考生計算出結果,或是結合題目其他信息利用行列式計算參數,這類(lèi)行列式的主要計算方法是降階法,一般先用行列式的性質(zhì)進(jìn)行恒等變形,再按行、按列用展開(kāi)定理將行列式降階。此外,一些特殊的行列式(三角行列式、爪型行列式、對角線(xiàn)型行列式等等)的計算方法也應掌握。
矩陣是線(xiàn)性代數的重要運算單位,是建立整個(gè)學(xué)科體系的基礎,其概念、運算及理論貫穿線(xiàn)性代數的始終。這部分重要考試要點(diǎn)有逆矩陣及伴隨矩陣,在考試中大題小題均有覆蓋,典型題型有以下幾種:方冪的運算、求解矩陣方程、判斷及證明矩陣可逆,與伴隨矩陣相關(guān)聯(lián)的命題、有關(guān)初等變換的命題等??忌枰攸c(diǎn)掌握逆矩陣的判定及計算方法及其在矩陣方程中的應用,伴隨矩陣的相關(guān)性質(zhì),特別是矩陣可逆性不同情況下對公式的運用,以及與秩相關(guān)的公式。
秩和特征值、特征向量都需要考生掌握最為基本的計算公式,一般會(huì )設置為大題的第一問(wèn),或者作為某個(gè)題目解題的突破口??忌栌浭炫c秩相關(guān)的公式,特征值及特征向量的計算方法及相關(guān)性質(zhì)。

線(xiàn)性代數——理論篇
向量組的關(guān)系有線(xiàn)性表示及線(xiàn)性相關(guān)性,其中線(xiàn)性相關(guān)性是考研線(xiàn)性代數的重點(diǎn)考查內容。這部分內容較為抽象,綜合性強,其分值占比大,是大題的常用考試要點(diǎn)之一,考頻高。常見(jiàn)題型有:向量組的線(xiàn)性相關(guān)性的判定或證明、有關(guān)秩的證明、有關(guān)矩陣與向量組等價(jià)的命題、有關(guān)方程組的命題、與向量空間有關(guān)的命題??忌欢ㄒ芽睾脤€(xiàn)性相關(guān)性的理解,相關(guān)定理要熟記,特別是要吃透其與方程組之間的關(guān)系,熟練掌握有關(guān)性質(zhì)及判定法并能靈活應用,還應與線(xiàn)性表出、向量組的秩及線(xiàn)性方程組等相聯(lián)系,從各個(gè)側面加強對線(xiàn)性相關(guān)性的理解。
整個(gè)線(xiàn)性代數研究的核心便是線(xiàn)性方程組,歷年考題中,頻率較高,幾乎每年都考,而且大題居多,是線(xiàn)性代數部分考查的重點(diǎn)內容。在這部分內容的學(xué)習中特別要注意齊次與非齊次線(xiàn)性方程組解的判定及解的結構、齊次線(xiàn)性方程組基礎解系的求解與證明、含參討論的方法等內容的掌握。典型的題型有:線(xiàn)性方程組的求解、方程組解向量的判別及解的性質(zhì)、齊次線(xiàn)性方程組的基礎解系、非齊次線(xiàn)性方程組的通解結構、兩個(gè)方程組的公共解、同解問(wèn)題、矩陣方程的求解等。
相似對角化與二次型在考研中有時(shí)會(huì )結合起來(lái)出大題,是線(xiàn)性代數的重要理論,這部分內容題量多分值大。其中相似對角化也比較喜歡在小題中出現,主要考查題型為:相似對角化的判定,間接計算矩陣的特征值等。而重點(diǎn)題型一般為判定矩陣的相似對角化、由特征值或特征向量反求A、有關(guān)實(shí)對稱(chēng)矩陣的問(wèn)題。由于二次型與它的實(shí)對稱(chēng)矩陣式一一對應的,所以二次型的很多問(wèn)題都可以轉化為實(shí)對稱(chēng)矩陣的問(wèn)題,而對實(shí)對稱(chēng)矩陣的研究也是特征值與特征向量以及相似對角化等內容,在其學(xué)習上需以相似對角化作為基礎,這部分是線(xiàn)性代數的一個(gè)重難點(diǎn),重點(diǎn)題型有:二次型表成矩陣形式、化二次型為標準形或規范型、二次型正定性的判別。
由2022年考研數學(xué)大綱可以看出,線(xiàn)性代數的考查內容不多,但從考試趨勢來(lái)看,線(xiàn)代科目對各位考生的要求更高,考試要點(diǎn)會(huì )更為綜合,正是這些綜合性的考題將會(huì )拉開(kāi)了考生之間的成績(jì)差距,若想取得理想分數,各位考生就必須要熟練掌握和靈活運用基本的概念以及公式定理。

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